मान लीजिए S = {(lambda, mu) in R times R : f( | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(t) = (\|\lambda\|e^{\|t\|} - \mu) \sin(2\|t\|)$.चूंकि $\|t\|$ शामिल है,हम $t > 0$ और $t < 0$ के लिए $f(t)$ का विश्लेषण करते हैं।$t

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$R 	imes [0, \infty)$

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(A) दिया गया है $f(t) = (\|\lambda\|e^{\|t\|} - \mu) \sin(2\|t\|)$.चूंकि $\|t\|$ शामिल है,हम $t > 0$ और $t $t > 0$ के लिए,$f(t) = (\|\lambda\|e^t - \mu) \sin(2t)$.$t $f(t)$ को $t=0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $t=0$ पर सतत होना चाहिए।$f(0) = (\|\lambda\| - \mu) \sin(0) = 0$.अब,$LHD = RHD$ का उपयोग करके $t=0$ पर अवकलज $f'(t)$ की जाँच करते हैं।$RHD = \lim_{t 	o 0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \lim_{t 	o 0^+} (\|\lambda\|e^t - \mu) \frac{\sin(2t)}{t} = (\|\lambda\| - \mu) 	imes 2 = 2(\|\lambda\| - \mu)$.$LHD = \lim_{t 	o 0^-} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \lim_{t 	o 0^-} -(\|\lambda\|e^{-t} - \mu) \frac{\sin(2t)}{t} = -(\|\lambda\| - \mu) 	imes 2 = -2(\|\lambda\| - \mu)$.अवकलनीयता के लिए,$LHD = RHD \implies 2(\|\lambda\| - \mu) = -2(\|\lambda\| - \mu)$.$4(\|\lambda\| - \mu) = 0 \implies \|\lambda\| = \mu$.चूंकि $\|\lambda\| \ge 0$,इसलिए $\mu \ge 0$ होना चाहिए।अतः,$S = \{(\lambda, \mu) : \mu = \|\lambda\|, \mu \ge 0, \lambda \in R\}$.यह समुच्चय $S$,$R 	imes [0, \infty)$ का एक उपसमुच्चय है।

मान लीजिए $S = \{(\lambda, \mu) \in R \times R : f(t) = (\|\lambda\|e^{\|t\|} - \mu) \sin(2\|t\|), t \in R\}$ एक अवकलनीय फलन है। तो $S$ किसका उपसमुच्चय है?

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यदि $f(x) = \begin{cases} x \left( \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} \right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है,तो सही कथन है:

मान लीजिए $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ . . . . पर अवकलनीय है।

फलन $f(x) = \begin{cases} \tan^{-1}x, & |x| \le 1 \\ \frac{1}{2}(|x| - 1), & |x| > 1 \end{cases}$ के अवकलज का प्रांत ज्ञात कीजिए।

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